Matrices de rotación

 

A menudo es necesario convertir de un sistema a otro mediante rotaciones alrededor de los ejes de coordenadas. Un ejemplo de esto es cuando en un momento dado representamos la posición de un satélite artificial en el sistema ECEF. Un tiempo después $t'$, la posición del satélite habrá variado debido al movimiento en su órbita, pero también la Tierra habrá rotado, de modo que tendremos un nuevo sistema $ECEF'$, que no es igual al sistema $ECEF$ inicial (ver figura 2.17).

Figura 2.17: Rotación del sistema ECEF

Es por esto que debemos convertir las coordenadas del satélite a un sistema común para conocer cómo se movió en realidad. En este ejemplo, si tenemos el tiempo transcurrido y conocemos la velocidad angular de rotación de la Tierra^2.15), sabremos el ángulo con el cual difieren ambos sistemas (note que la rotación sólo sucede alrededor del eje $\vec Z$).

Figura: Rotación alrededor del eje $\vec Z$

La figura 2.18 ilustra la rotación alrededor del eje $\vec Z$ del sistema $XY$ en $X'Y'$. Note que la distancia $r$ desde el origen al punto $P$ es igual en ambos sistemas, de modo que las respectivas coordenadas $(x,y)$ y $(x',y')$ se pueden escribir:

$$x = r \cos \alpha$$

$$y = r \sin \alpha$$

$$x' = r \cos (\alpha-\beta)$$

$$y' = r \sin (\alpha-\beta)$$

Por otra parte, tomando en cuenta las expresiones para diferencias de ángulos:

$$x'=r\cos(\alpha-\beta)=r(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta ) \to$$

$$x'=r \cos\alpha \cos\beta + r \sin \alpha \sin \beta \to$$

$$x' = x \cos\beta + y \sin \beta$$ (2.7)

$$y'=r\sin(\alpha-\beta)=r(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta ) \to$$

$$y' = r \sin\alpha \cos\beta - r \cos \alpha \sin \beta \to$$

$$y' = - x \sin \beta + y \cos\beta$$ (2.8)

Las ecuaciones 2.7 y 2.8 se pueden escribir de manera matricial así:

$$\left[\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right] = \lef... ...ay} \right) \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$$ (2.9)

La expresión 2.9 determina la rotación en dos dimensiones. Para obtener la expresión tridimensional basta saber que en este caso la rotación es exclusivamente alrededor del eje $\vec Z$ y por tando las coordenadas $z$ se mantienen constantes. Entonces la rotación alrededor de $\vec Z$ es:

$$\left[\begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right] ... ...ight) \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]$$ (2.10)

Siguiendo un procedimiento semejante se pueden deducir las expresiones de rotación alrededor de $\vec X$ e $\vec Y$. Como a los ejes coordenados $\vec X$, $\vec Y$, $\vec Z$ se les suele denotar como $1$, $2$ y $3$, a las matrices de rotación correspondientes se les llama $\mathbf{R}_1$, $\mathbf{R}_2$ y $\mathbf{R}_3$:

$$\mathbf{R}_1(\beta) = \left(\begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \... ...sin \beta \\ 0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{array} \right)$$ (2.11)

$$\mathbf{R}_2(\beta) = \left(\begin{array}{c c c} \cos \beta ... ... 0 & 1 & 0 \\ \sin \beta & 0 & \cos \beta \end{array} \right)$$ (2.12)

$$\mathbf{R}_3(\beta) = \left(\begin{array}{c c c} \cos \beta ... ...-\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$ (2.13)

La convención para el signo de $\beta$ es muy importante: el ángulo será positivo cuando la rotación alrededor del eje correctamente se realiza en el sentido de la regla de la mano derecha. Por ello en la figura 2.18 se consideraba la rotación como positiva.

En general, la rotación de un sistema de coordenadas $p$ a otro sistema $q$ se puede expresar como:

$$\mathbf{x}_q = \mathbf{R}^{q}_{p} \mathbf{x}_p$$ (2.14)

Donde $\mathbf{x}_q$ es el vector definido en el sistema $q$, $\mathbf{x}_p$ es el vector definido en el sistema $p$, y $\mathbf{R}^{q}_{p}$ es la matriz de rotación que convierte de $p$ a $q$.

Las matrices de rotación así definidas son ortogonales y tienen por tanto unas importantes propiedades:

• Si $\mathbf{R}^{q}_{p}$ convierte de $p$ en $q$, entonces ${\mathbf{R}^{q}_{p}}^T$ convierte de $q$ en $p$ (es decir, ${\mathbf{R}^{q}_{p}}^T = \mathbf{R}^{p}_{q}$).

• El determinante es 1 ( $det(\mathbf{R}^{q}_{p})$ = 1).

• ${\mathbf{R}^{q}_{p}}^T \mathbf{R}^{q}_{p} = \mathbf{R}^{q}_{p}{\mathbf{R}^{q}_{p}}^T = \mathbf{I}$, donde $\mathbf{I}$ es la matriz identidad.

• ${\mathbf{R}^{q}_{p}}^{-1} = {\mathbf{R}^{q}_{p}}^T$.

• Cualquier rotación de $p$ en $q$ se puede realizar mediante la composición de rotaciones sucesivas alrededor de los ejes $1$, $2$ y $3$ (en ese orden):

  
  

  $$\mathbf{R}^{q}_{p} = \mathbf{R}_{3}(\beta_3) \mathbf{R}_{2}(\beta_2) \mathbf{R}_{1}(\beta_1)$$
  
  
  .